RESEARCH
ADRIAN SCHACKER 2008-2010©
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Die MONDRAGO-Forschung (Mondragologie) steht erst am Anfang. Eines ihrer Ziele ist die “MONDRAGO – Formel”. MONDRAGO steckt voller mathematischer, geometrischer und ästhetischer Fragen, die noch einer zusammenhängenden Erklärung und entsprechender Analysen bedürfen.
Die MONDRAGO – Formel beschreibt die Bewegung und Interaktion von 2 x 4 Spielsteinen, die nach den Regeln von MONDRAGO auf einem Spielfeld von 5 x 5 Feldern nach einem Quadrat streben, das sie sich gleichzeitig gegenseitig verhindern müssen.
Grundsätzliche Fragen
Das Quadrat
Die 1. Frage bei MONDRAGO ist regelmäßig die nach der Definition eines Quadrats: ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleichen Seiten, die durch vier rechte Winkel verbunden sind.
Die 2. Frage, die allgemein gestellt wird, nämlich die nach der Anzahl der möglichen Quadrate (Mondragos) auf der MONDRAGO-Spielfläche, lässt sich leicht durch simples Auszählen beantworten: es sind genau 50.
30 gerade Quadrate, 10 diagonale Quadrate, 10 schräge Quadrate
Wir nennen Quadrate “gerade”, wenn ihre Seiten parallel sind mit den Grundlinien des Spielfelds.
“Diagonale” Quadrate sind um 45 Grad gedreht.
“Schräge” Quadrate liegen auf dem Spielfeld zwischen den “geraden” Quadraten und den “diagonalen” Quadraten.
Man kann die Anzahl der möglichen Quadrate natürlich auch ausrechnen (Klick auf Abb.):
→ Alle Formeln für die Anzahl Quadrate und Differenzen (Dr. Bangert2010)
Das “schräge” Quadrat. Verschiedentlich wurde bezweifelt, dass das “schräge” Quadrat tatsächlich ein korrektes Quadrat ist. Diese Frage darf inzwischen als überholt gelten, nachdem gegen Ende des letzten Jahrhunderts der Physiker Dr. Bangert mit Hilfe der Regeln der Geometrie den Beweis dafür formulierte, dass das “schräge” Quadrat wirklich ein korrektes Quadrat ist.
Sieg 1. Der Gegner kann das drohende Quadrat nicht mehr verhindern, weil er einen Zug mehr braucht, um das fragliche Spielfeld zu besetzen. 2. Der Angreifer kann 2 Quadrate gleichzeitig androhen. 3. Der Angreifer kann dasselbe Quadrat von zwei Ecken her androhen.
Es gibt bei MONDRAGO keinen bekannten Spielzug, der von Anfang an (und unabhängig vom Gegner) direkt und zwangsläufig zum Sieg führt.
Unentschieden Eine der Fragen, die sich sofort aufdrängt, und immer noch diskutiert wird: gibt es bei MONDRAGO ein Unentschieden? Ein Unentschieden bei MONDRAGO würde (anders als bei Schach) einen unendlichen Spielverlauf bedeuten. Ist das (theoretisch) überhaupt möglich?
Ist der Spielverlauf aber endlich, wäre die noch zu klärende, grundsätzliche Frage die nach der längsten, möglichen MONDRAGO-Partie.
Die Eröffnung 
Die umgekehrt symmetrische Anfangsstellung sorgt dafür, dass frühestens mit dem 6. Zug ein Quadrat vollendet werden kann (“Sudden Death“), was vielfältige Ausgangsspositionen ermöglicht.
Bei MONDRAGO unterscheiden wir die “Anfangsstellung” von der “Ausgangsposition“. Mit “Ausgangsposition” bezeichnen wir die Stellung der Spielsteine nach dem 4. Spielzug. Der 4. Zug ist so etwas wie eine Schwelle im Spielverlauf, da (im Prinzip) mit dem 5. Zug der direkte Zugzwang beginnt, der den weiteren Spielverlauf bestimmt.
Die ersten 4 Züge dienen dem Aufbau und der Vorbereitung einer guten Ausgangsposition für die Androhung eines Quadrats. Es empfiehlt sich im Allgemeinen, die Spielsteine gut zu verteilen.
Neuere Untersuchungen mit Hilfe des Phasenraums (weiter unten) führten zu dem Ergebnis, dass tatsächlich schon mit dem 2. Zug die Interaktion der Spielsteine beginnt. Nur der 1. Zug ist absolut frei.
Der Zugzwang
Mit dem 5. Zug, mit der frühesten Androhung des Quadrats, beginnt im engeren Sinne das Spiel. Waren die ersten Züge noch relativ frei, wenn auch zunehmend konstitutiv für den weiteren Spielverlauf, wird nun direkter Zugzwang wirksam.
Durch den Zugzwang verkoppeln sich die Teams der 2 x 4 Spielsteine. Sie treten in eine unauflösliche und dynamische Wechselbeziehung, die erst mit dem vollendeten Quadrat erlischt. Innerhalb dieser Wechselbeziehung unterscheiden wir direkten Zugzwang und indirekten Zugzwang. Der indirekte Zugzwang betrifft die Spielzüge vor der Androhung eines Quadrats, also vor der Ausübung des direkten Zugzwangs. Wir werden ihn später an passender Stelle noch genauer betrachten.
Spielverlauf
Angreifer ist, wer den Zugzwang ausüben kann, Verteidiger, wer ihm folgen muss. Bei geübten MONDRAGO-Spielern können sich Angriff und Verteidigung öfter abwechseln, bzw. ineinander übergehen, was jeweilige Strategien erfordert. Beim Spielen empfielt es sich daher immer, die Gesamtsituation zu betrachten und nicht nur die eigenen Spielsteine.
Der Spielverlauf ist, bedingt durch den Zugzwang, wesentlich ein “Bedrohungsverlauf”. Unter “Bedrohung” verstehen wir die Anzahl der noch nötigen Spielzüge bis zur Vollendung eines Quadrats, d.h. bis zum Erreichen von “Mondrago”.
Der MONDRAGO – Phasenraum
Der MONDRAGO – Phasenraum (Klick auf die Abbildung) beschreibt den Bedrohungsverlauf einer Partie MONDRAGO als Diagramm. Der Phasenraum kombiniert die Anzahl der noch nötigen Spielzüge bis zur Vollendung eines Quadrats (also die “Bedrohung”) mit der fortschreitenden Zugfolge des Spiels. Auf der senkrechten y-Achse liegt die Anzahl der noch nötigen Spielzüge, auf der waagerechten x-Achse die Zugfolge.
Der Mondrago-Phasenraum gliedert sich (von oben nach unten) in folgende 7 Ebenen:
0 = Austritt aus dem Phasenraum. Hier ist das Quadrat erreicht und das Spiel zu Ende.
1 = Noch 1 Zug zum Quadrat. Direkter Zugzwang. Zugzwangebene.
2 = Noch 2 Züge bis zum Quadrat. Indirekter Zugzwang.
3 = Noch 3 Züge bis zum Quadrat. Indirekter Zugzwang.
4 = Noch 4 Züge bis zum Quadrat. Beginn der Wechselwirkung und damit Eintritt in den “eigentlichen” Phasenraum (Ebenen 1 – 4), in dem die Wechselwirkung herrscht.
5 = Noch 5 Züge bis zum Quadrat.
6 = Anfangsstellung, also noch 6 Züge bis zum Quadrat (Spielbrettebene)
Die Erforschung des MONDRAGO – Phasenraum steht noch ganz am Anfang. Die Kurve ist um so aussagekräftiger, je besser die beteiligten Spieler sind und je mehr Züge die Partie andauert. Klick oben zum Vergrößern auf das Phasenraum-Diagramm der bisher längsten, aufgezeichneten MONDRAGO – Partie →Adrian vs. Zven(pdf)
Wird fortgesetzt
Die Ebenen und ihre Strategien
1. Ebene, direkter Zugzwang (1 Zug bis zum Quadrat)
1. Auf dieser Ebene muss es dem Angreifer darum gehen,
a) den Zugzwang im Spielverlauf durch Androhung immer weiterer Quadrate aufrecht zu erhalten.
b) durch geschicktes Ziehen die Stellung des Gegners so zu schwächen, dass der das angedrohte Quadrat zum Schluss nicht mehr verhindern kann.
Für den Angreifer ist die Androhung eines Quadrats, also die Ausübung des Zugzwangs, die einzige Möglichkeit, das Spiel berechnend zu gestalten, d.h. er kann den Gegenzug seines Gegners genau kalkulieren, da der ja das drohende Quadrat verhindern muss. Solange dieser nur einen Spielstein dafür zur Verfügung hat, ist die Stellung im nächsten Zug leicht vorhersehbar.
Schwieriger wird es, wenn der Verteidiger 2 Spielsteine zur Verhinderung des drohenden Quadrats hat. Der Angreifer kann nicht wissen, welchen der 2 Spielsteine sein Gegner ziehen wird, um das drohende Quadrat zu verhindern. Bei MONDRAGO kann die Stellung eines einzigen Spielsteins aber auf den weiteren Spielverlauf einen definitiven Einfluss haben. Hier teilt sich der Ast des Spielverlaufs, was wir eine “Bifurkation” nennen. Das Spiel wird schwerer zu kalkulieren.
Darüber hinaus kennen wir sogar “Trifurkationen“, wenn dem Verteidiger 3 Spielsteine zur Verfügung stehen, um ein drohendes Quadrat zu verhindern, oder dem Angreifer, um zwei oder sogar mehr verschiedene Quadrate anzudrohen. Die erstaunliche Komplexität von MONDRAGO verdankt sich gerade auch diesen “Verästelungen” des Spielverlaufs.
2. Der Verteidiger steht im direkten Zugzwang. Für ihn muss es darum gehen,
a) das ihm angedrohte Quadrat zu verhindern
b) durch geschicktes Setzen der Spielsteine den Angreifer zu blockieren, also in der Folge dessen Fähigkeit zur Ausübung des direkten Zugzwangs zu erschweren und zu verhindern.
c) selber wieder in die ”Vorhand” zu gelangen, womit er wieder zum Angreifer wird.
Solange der direkte Zugzwang anhält, bieten nur die gerade erwähnten “Bifurkationen” für den Verteidiger eine Möglichkeit, das Spiel (mit) zu gestalten. Um das Quadrat zu verhindern, wählt der Verteidiger den Spielstein, der dem Angreifer im nächsten Zug die weitere Möglichkeit zur Ausübung des direkten Zugzwangs verstellt.
2. Ebene, indirekter Zugzwang, (2 Züge bis zum Quadrat)
Ein erfahrender Verteidiger versucht den direkten Zugzwang zu vermeiden. Er kommt ihm zuvor, indem er das Feld besetzt, das zum Ausgangspunkt für die Androhung eines neuen Quadrats werden könnte. Dafür muss er 2 Spielzüge voraus blicken. Dies nennen wir den indirekten Zugzwang. Auf dieser Ebene müssen beide Spieler voraus schauend ziehen, denn hier geht es darum, wer den Zugzwang im nächsten Spielzug ausüben kann, mit dem man das Spiel dominiert. Hier gibt es mehr mögliche Spielzüge und Bifurkationen als beim direkten Zugzwang. Das Spiel wird für den Angreifer schwer berechenbar.
Erfahrende MONDRAGO – Spieler bewegen sich deshalb mindestens auf dieser 2. Ebene, also 2 Züge vor der Vollendung des Quadrats. Hier tobt der Kampf um die Vormacht. Denn der 2. Zug vorher bildet ja den rechten Winkel, also die 3. Ecke, als Voraussetzung des fraglichen Quadrats.
3. Ebene, 3 Züge bis zum Quadrat (2. Ecke)
Auf dieser Ebene, 3 Züge vor dem Quadrat, wird die Möglichkeit zur Androhung eines Quadrats vorbereitet. Der 3. Zug vorher bildet die 2. Ecke des kommenden Quadrats.
Auch hier ist der “indirekte Zugzwang” noch wirksam. Die Berechnung des Spielverlaufs wird noch schwieriger, da es hier noch mehr mögliche Spielzüge, und damit noch mehr mögliche Bifurkationen bis zur Bildung eines Quadrats gibt. Bei MONDRAGO 3 Züge im Voraus zu überblicken ist nicht so einfach und verlangt schon einen geübten MONDRAGO – Meister.
4. Ebene, 4 Züge bis zum Quadrat (1. Ecke)
Die tiefste Ebene. Hier herrscht noch die “reine Potenz”, also eine ganz allgemeine, “abstrakte” Möglichkeit zur Bildung eines Quadrats. Jeder der 4 Spielsteine kann zur 1. Ecke eines Quadrats werden. Die einzige Bedingung ist die Stellung des Gegners und die Begrenzung des Spielfelds.
DAS SPIELFELD
Das Spielfeld ist die Basis-Ebene. Auf ihr ist der Spielstein gesetzt. Daher müssen wir die 25 Spielfelder des Spielfelds genauer betrachten, da die Spielfelder als Ausgangspunkte möglicher Quadrate auf dem begrenzten MONDRAGO – Spielfeld ja nur bestimmte Quadrate in einer bestimmten Anzahl zulassen. Wir nennen dies die “Valenz” eines Spielfelds.
Die Valenz eines einzelnen Spielfelds ist abhängig von seiner Lage auf dem Gesamtspielfeld. In dieser Hinsicht sind die Spielfelder nicht alle gleich. Sie haben verschiedene Valenzen. (Klick links aufs Bild. Die Zahlen auf den Spielfeldern bezeichnen die Anzahl ihrer Valenzen).
Die Summe aller Valenzen beträgt 200, was die Zahl der auf dem Spielfeld möglichen Quadrate vervierfacht.
5 der MONDRAGO – Spielfelder erlauben keine schrägen Quadrate. Es sind die 4 Eckfelder der MONDRAGO – Spielfläche und das Feld in der Spielfeldmitte. Die Eckfelder haben die wenigsten Valenzen (4), die Spielfeldmitte die Meisten (12).
DIE SPIELFELDMITTE
Das Spielfeld in der MONDRAGO – Spielfeldmitte ist das problematischste aller MONDRAGO – Spielfelder. Als Ausgangspunkt für die Bildung eines Quadrats ist es im Normalfall weniger geeignet, obwohl es die meisten Valenzen hat. Dieser scheinbare Widerspruch erklärt sich aus dem Umstand, dass das Mittelfeld nur die kleineren der geraden und diagonalen Quadrate zulässt, von denen es auf der MONDRAGO-Spielfläche zahlenmässig am meisten gibt, aber z.B. keine schrägen Quadrate.
Problematisch ist die Spielfeldmitte vor allem aber wegen ihrer strategischen Bedeutung. Man muss sich klarmachen, dass jeder der 4 Spielsteine im Idealfall nur ein Viertel des Spielfelds erreichen und abdecken kann. (Abb. links) Wer daher (durch Zugzwang) das Mittelfeld besetzen muss, hat den strategischen Nachteil, dass er nun einen Teil seines Einzugsgebiets nicht mehr ausreichend abdecken kann. Er gerät in die Defensive. In diesem frei gewordenen Raum können sich für den Angreifer Möglichkeiten zur Bildung eines Quadrats eröffnen, das der Gegner nicht mehr verhindern kann. Eine der Strategien ist es daher, den Gegner durch Zugzwang auf das Mittelfeld und damit in die Defensive zu zwingen. (Siehe Musterspielzug 1) Erfahrene MONDRAGO-Spieler haben darauf stets ein besonderes Augenmerk.
Eine gewisse Ausnahme bildet die sogenannte “Hannifan-Variante“, (sprich: Hannifän), bei der das Mittelfeld vom Angreifer offensiv als “Passage” benutzt wird. um etwa eines der kleinen Quadrate in einer der Spielfeldecken anzudrohen. Der “echte Hannifan” (Abb.) führt mit dem 6. Zug zum vorzeitigen Ende der Partie (“Sudden Death”). Erfolg oder Misserfolg hängen vom Überraschungseffekt und von der jeweiligen Stellung des Gegners ab.
Bis jetzt kennen wir 3 weitere Varianten der Hannifan-Variante:
→Variante 1 der Hannifan-Variante (4 Züge)
→Variante 2 der Hannifan-Variante (8 Züge)
→Variante 3 der Hannifan-Variante (6 Züge)
MONDRAGO-MUSTERSPIELZUG 1
Diese Zugfolge ist gut geeignet, die Bedeutung der “Bifurkation” und der Spielfeldmitte für den Spielverlauf in wenigen Spielzügen darzustellen. Die Spielvariante A führt zwangsläufig zu einem MONDRAGO für Schwarz nach 4 Zügen. Der Verlauf der Spielvariante B bleibt dagegen nach 4 Spielzügen noch offen.
Spielvariante A
1. Zug: D4 – E3; D2 – D1; Schwarz droht ein schräges Quadrat auf D1 an. Blau hat 2 Steine (auf C2 bzw. D2) zur Verfügung, um dem Zugzwang zu folgen und das drohende Quadrat auf D1 zu verhindern. (Bifurkation) Blau wählt den Stein auf D2. Dieser Ast des Spielverlaufs endet nach 4 Spielzügen mit der zwangsläufigen Niederlage von Blau.
2. Zug: E3 – D2; A4 – C3; Schwarz zieht auf das von Blau geräumte D2 und droht ein kleines, diagonales Quadrat auf C3, dem Mittelfeld, an. Blau muss, dem Zugzwang folgend, auf die Mitte.
3. Zug: C1 – B1; C3 – B3; Schwarz droht ein schräges Quadrat auf A3 an, welches Blau nicht mehr verhindern kann. Blau braucht einen Zug mehr, um A3 zu besetzen.
4. Zug: B2 – A3; Schwarz vollendet das schräge Quadrat auf A3 und sagt “MONDRAGO”.
Spielvariante B
1. Zug: D4 – E3; C2 – D1; Schwarz zieht wie in Variante A und droht ein schräges Quadrat auf D1 an. Blau wählt nun den anderen Stein, der ihm zur Verfügung steht, (auf C2), um das Quadrat zu verhindern (Bifurkation)
2. Zug: B2 – C2; Schwarz kann (im Unterschied zur Variante A) kein weiteres Quadrat mehr androhen und braucht einen Zwischenzug. Für Blau ergeben sich daraus verschiedene Optionen. Wir wählen D1 – C2.
3. Zug: C1 – D2; Schwarz droht ein schräges Quadrat auf E2 an. Blau verhindert mit D2 – E2
4. Zug: C1 – D2; Schwarz droht ein kleines, diagonales Quadrat auf C3, dem Mittelfeld, an. Blau hat zwei Steine, um dieses Quadrat zu verhindern (auf B4 und C2). (weitere Bifurkation). Blau wählt den Stein auf B4: B4 – C3
Im Unterschied zur Variante A ist die Partie in der Variante B nach 4 Zügen noch offen.
Wird fortgesetzt.
Letzter Stand: Juli 2010