Sensationell!  Dieter hat tatsächlich die 3. Variante der →Hannifan-Variante gefunden! Blau zieht und gewinnt in 6 Zügen. Eigentlich ist Variante 3 eine Variante von Variante 2.

Sofort downloaden oder selber drauf kommen: 

→Variante 3 der Hannifan-Variante (pdf)

Frage: wer findet den 4. Weg?

Der 2. Weg

August 2, 2010 | Blogroll • Research | Leave a Comment

Ausgangsposition Der Weg ist das Ziel, Freunde!

Blau zieht und gewinnt über den Zugzwang in 8 Zügen.  Wenn ihr das nachspielt, versteht ihr, was es heißt, das Quadrat zu tanzen!

downloaden, ausdrucken, studieren: →Variante 2 der Hannifan-Variante 

Ausgangsstellung Kleine Kopfnuss für alle MONDRAGO-Fans: Blau zieht und gewinnt über den direkten Zugzwang mit  4 Zügen! Schwarz hat keine Chance. Schaffst Du es auch? 

Lösung: →Variante 1 der Hannifan-Variante (pdf)

PS 1: Dieser Spielzug ist eigentlich eine Variante der →Hannifan-Variante. Es gibt noch einen 2. Weg. Er ist länger und etwas schwieriger zu finden, aber schöner und führt auch zum Ziel:  Blau zieht und gewinnt nach 8 Zügen! Findest Du ihn auch? 

Variante 2 nach 7.Zug BlauPS 2: Falls Du jetzt die Lösung vermisst, musst Du sie selber finden oder eine Woche warten. Bis dahin ein Tipp: Die Abbildung links zeigt die Stellung nach dem 7. Zug von Blau.

Tanz das Quadrat und finde den Weg! Vielleicht gibt es noch mehr Varianten?

Eroeffnung_A.jpgAn anderer Stelle haben wir schon gesagt, dass die umgekehrt symmetrische Anfangsstellung bei MONDRAGO die Bildung eines Quadrats frühestens nach 6 Zügen erlaubt.  Auch gibt es, lässt man die (umgekehrte) Symmetrie beiseite, 6 mögliche 1. Züge (Eröffnungen). Ein bewährter Standard ist z.B. die →“span. Eröffnung”. Wir wissen nicht, welche Eroeffnung_B.jpgEröffnung die Beste ist, aber wir kennen die 2 Schlechtesten (Abb.).  Sie sind deshalb schlecht, weil sich mit ihnen der Abstand (6 Züge) zum angestrebten Quadrat nicht verkürzt (auf 5 Züge) , sondern gleich bleibt. Man verschenkt also einen Zug.

Wie schlecht diese Eröffnungen sind, erweist sich mit dem 2. Zug, wenn er auf der gegenüber liegenden Seite (also umgekehrt symmetrisch) wiederholt wird: man braucht immer noch 6. Züge bis zum nächsten Quadrat(!), hätte nun also 2 Züge verschenkt. Man erkennt leicht, dass im ersten Fall (Abb. A) eigentlich nur die Anfangsstellung gedreht wird, sich also gar nichts verändert hat. Im zweiten Fall (Abb. B) wird die Anfangsstellung quasi auf die Diagonale des Spielfelds gedreht. Die Spielsteine liegen sich gegenseitig im Weg.

Hallo Quadratköpfe, Volker hat es geschafft!  Alle Formeln und ihre systematische Herleitung zur Anzahl mögl. Quadrate auf n*n Spielfeldern (bei MONDRAGO n=5), einschließlich der Differenzen der daraus resultierenden Zahlenfolgen, steht nun für alle mathematisch Interessierten zur Verfügung. Die Zahlenfolgen werden als Tabellen und als Kurven gezeigt!  Big stuff!

Ausdrucken und studieren: → Alle Formeln für die Anzahl Quadrate und Differenzen (PDF)

Kurven_ger_schr___dia.jpgMan sieht, die Kurve der schrägen Quadrate schneidet die Kurve der diagonalen Quadrate genau bei n = 5, was der Tatsache entspricht, dass es auf einem MONDRAGO – Spielfeld (5*5) gleich viele diagonale wie schräge Quadrate gibt, nämlich 10.  Danach nehmen die diagonalen Quadrate im Verhältnis zu den schrägen immer mehr ab. 

Die Kurve der schrägen Quadrate hat zwei Schnittpunkte: Zwischen n=10 und n=11 schneidet sie die Kurve der geraden Quadrate. Ab einem Spielfeld von n=11 gibt es also mehr schräge als gerade Quadrate.

Die Anzahl diagonaler Quadrate ist immer kleiner als die Anzahl der geraden Quadrate.

Die Differenzen in den Zahlenfolgen geben Einblicke in das innere Verhältnis der Anzahl der Quadrate, z.B. ergibt die 1. Differenz der Anzahl der geraden Quadrate selber die fortlaufende Folge der Quadratzahlen n*n.  →Research

Zum Glück hat das MONDRAGO - Spielfeld nur 5 x 5 Felder, denn auf einem Spielfeld von 101 x 101 Feldern würde die Anzahl der möglichen Quadrate schon die 1 Million überschreiten. 

FormelAnzahl_Quadrate.jpgDie von unserer Grundlagen-Forschung gefundene math. Formel (Klick auf Abb.) erlaubt die Berechnung der Anzahl mögl. Quadrate auf n x n Spielfeldern. Ist die Formel nicht wunderbar? Sie enthält die Summe aller geraden, diagonalen und schrägen Quadrate. Sie stimmt für alle ganzen Zahlen. Es lohnt sich, sie genauer zu betrachten. Wenn ihr mehr wissen wollt:  →Research

PS: Wenn ihr wissen wollt, wie viele mögliche Quadrate  es bei MONDRAGO gibt, könnt ihr die Formel benutzen, indem ihr für n = 5 einsetzt.

Mondrago_Formel_gerade_Quadrate_1.jpgMONDRAGO – Spieler wissen schon seit Urzeiten, dass es auf dem Mondrago- Spielfeld n*n, (wobei n=5), genau 50 mögl. Quadrate, (Mondragos) gibt: 30 gerade, 10 diagonale und 10 schräge Mondragos. Aufgepasst! Volker hat nun für die Anzahl der Mondragos auf n*n Spielfeldern das allgemeine Bildungsgesetz gefunden:

mn (gesamt) = Gesamtzahl aller möglichen Mondragos auf einem Spielbrett mit n*n Feldern. 

      mn (gesamt) = mn (gerade) + mn (schräg) + mn (diagonal)

1. Gerade Mondragos:  mn (gerade)  = (n-1)2 + (n-2)2 +(n-3)2 …… + (n-(n-1))2

2. Schräge Mondragos:  mn(schräg) = 2*(n-3)2 + 2*(n-4)2 + 2*(n-5)2 +…2*(n-(n-1))2

3. Diagonale Mondragos: mn(diagonal für ungerades n) = (n-2)2 + (n-4)2 +(n-6)2 …+ (n-(n-1))2

mn (diagonal für gerades n) = (n-2)2 + (n-4)2 +(n-6)2 …… + (n-(n-2))2

4. Alle Mondragos: mn(gesamt für ungerades n) =1*(n-1)2 + 2*(n-2)2 +3*(n-3)2 + 4*(n-4)2 + 3*(n-5)2 +4*(n-6)2 + 3*(n-7)2 +4*(n-8)2 …… + 4*(n-(n-1))2

 mn (gesamt für gerades n) = 1*(n-1)2 + 2*(n-2)2 +3*(n-3)2 + 4*(n-4)2 + 3*(n-5)2 +4*(n-6)2 + 3*(n-7)2 +4*(n-8)2 …… + 3*(n-(n-1))2

n = immer ganze Zahlen

Liebe Freunde,  man glaubt gerne, dass MONDRAGO nur ein rein logisches Spiel ist.  Aber der Reiz von MONDRAGO hat tiefere Wurzeln:

Grundbedeutung von Spiel ist “Tanz”, aslaw. plesati, mit Vorwärts-, Rückwärts-, und Seitwärtsschreiten verbunden, das auch zur Umkreisung werden kann.

Kluge, Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache,    21. unveränderte Auflage 1975

Diese Beschreibung passt gut zum Spielverlauf bei MONDRAGO und beweist, wie nahe MONDRAGO an der Wurzel des Spielens liegt.  Denn unter gleich guten Spielern will der Sieg (also das Quadrat)  stets ertanzt werden. Der Tanz beginnt auf dem Gipfel der Konzentration. Ein falscher Schritt…und die selbstherrliche Logik wird von der Intuition besiegt.  

PS: MONDRAGO-Spieler können sogar schrägwärts schreiten! 

E = Mondrago × Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat! MONDRAGO ist nicht nur genial einfach, sondern auch einfach genial!  

Der jüngst entdeckte MONDRAGO –  Phasenraum verknüpft die Zugfolge (x-Achse) mit dem jeweiligen Abstand des Spielers zum nächstmöglichen (“drohenden”) Quadrat (y-Achse). Er zeigt uns den “Bedrohungsverlauf” einer Partie MONDRAGO anschaulich als Diagramm. (→RESEARCH)

Phasenraum_001a_1.jpg

 

 

 

Das Phasenraum-Diagramm kann uns vielleicht zu neuen Einsichten in den bis jetzt nur ansatzweise verstandenen Spielverlauf einer Partie MONDRAGO verhelfen. Auf der Abbildung (Klick zum Vergrößern) seht ihr das Diagramm der längsten, bisher aufgezeichneten MONDRAGO -Partie →Adrian vs. Zven(pdf)  Man sieht sofort, dass hier Großmeister am Werk waren!

Gruß von der Mondrago-theorethischen Forschungsstelle Prof. A. Vierstein

ModerArtMondrago2.jpgMan kann die 2 x 4 Spielsteine von MONDRAGO als 2 x 4 Pendel betrachten, die durch den Zugzwang miteinander verkoppelt sind.  Die mathematische Figur, die diese Rückkopplung erzeugt, ist der Torus, ein ringförmiges Gebilde, auf dessen Oberfläche der Verlauf zweier kombinierter, dynamischer Systeme dargestellt werden kann.

Mathematiker aller Länder! Vereinigt euch! Die “MONDRAGO-Formel” ist noch nicht gefunden.

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