Der automatische Mondrago-Gegner ist online! Ihr könnt hier klicken, um zum Online-Mondrago zu gelangen. Registriert Euch dort und meldet Euch an, dann könnt Ihr sofort aus der Lobby den Spieler „Computer“ einladen. Er wird die Herausforderung unverzüglich annehmen!
Der ModraBot bei der ArbeitBesonders schlau ist der Mondrago-Automat noch nicht, aber immerhin: Das Streben nach Symmetrie und einer ausgeglichenen Steinverteilung wurde ihm bereits beigebracht. Leider ist das für den geübten Spieler allzu leicht zu überlisten, also seid gnädig – der Computer kocht auch nur mit Wasser!

Geplant ist nun, den Algorithmus zu verbessern und mit einem Gedächtnis zu versehen. Im Augenblick sind im System schon mehr als 500.000 Spielstände gespeichert, auf die der Mondrago-Automat einmal zugreifen soll. Dann werdet Ihr nichts mehr zu lachen haben!

Besten Dank an Alexis für die Inspiration!

Alexis 2015Ein wirklich funktionierender Mondrago –  Spielautomat liegt, trotz diverser Anläufe, noch in weiter Ferne. Jetzt hat Alexis einen neuen Ansatz für einen Logarythmus dafür entwickelt. Wir sind gespannt, wie es weiter geht…

 

 

Teko / Teeko

August 23, 2013 | BlogrollOliverResearch | 3 Comments

Mondrago hat einen zumindest ähnlichen Vorgänger aus dem Jahre 1945?

Unter dem Link The Strong’s online collection findet sich ein Spiel namens Teeko. Und siehe da: das Spiel Teeko nutzt ein 5 mal 5 großes Spielfeld. Gespielt wird zu zweit mit 4 Spielsteinen pro Spieler. Gezogen wird abwechselnd. Ein Zug besteht darin, einen seiner eigenen Spielsteine ein Feld weit zu ziehen.

Die Spielsteine kommen aber anders ins Spiel: Das Spielbrett ist anfangs leer und während der ersten vier Züge (oder acht Halbzügen) wird abwechselnd je ein eigener Stein auf eine freie Position gesetzt.

Gewonnen wird mit einer geraden Reihe von seinen vier eigenen Spielsteinen oder einem aus eigenen Spielsteinen geformten Quadrat!

Man unterscheidet Teeko bei dem ein Quadrat 2×2 Größe haben soll, von „advanced Teeko“, bei dem der Autor vorschlug, ein Quadrat beliebiger Größe für den Gewinn zuzulassen. Alle Quellen, die ich bislang habe, unterscheiden dabei nicht zwischen gerade, diagonal oder schräg in der Anordnung der Quadrate.

Guy Steele, ein amerikanischer Computer-Experte, behauptet, Teeko gelöst zu haben: Kein Spieler kann einen Gewinn erzwingen. Es ist also ein ausgeglichenes Spiel. Auf der Suche nach der Mondrago-Formel könnte daher ein Blick auf die Lösungsansätze zu Teeko durchaus lohnenswert sein?

Die Vermutung, dass Gleiches für Mondrago gilt, mag nicht wirklich abwegig sein.

 

 

Mathematisch betrachtet handelt es sich bei einem Quadrat um ein Diagramm, welches einen so genannten 2-regulären Graphen mit vier Ecken darstellt. Die Länge des Kantenzugs beträgt vier. Der Graph ist planar, eulersch und hamiltonisch, womit der Graph zusammenhängend ist, keine Kante sich schneidet und das wahrscheinlich Wichtigste bereits implizit gesagt worden ist:
Das Quadrat ist ein Kreis!

Das Haus des Nikolaus: kein planarer Graph.Ein planarer Graph ist ein Graph, dessen Kanten sich nicht schneiden. Beim Haus vom Nikolaos schneiden sich z.B. die inneren Kanten, weswegen das Haus vom Nikolaos nicht planar ist.

Jede Ecke wird nur einmal durchlaufen = Hamiltonischer Graph.
Jede Kante wird nur einmal durchlaufen = Eulerscher Graph.

Jede Ecke hat einen so genannten Grad. Wenn alle Ecken denselben Grad haben, heißt der Graph regulär. 2-regulär, weil der Grad bei allen Ecken eines Quadrats 2 ist.

Vier Ecken ist klar.

Die Länge eines Kantenzugs ist die Anzahl der in ihm enthaltenen Kanten. Wenn Du dasselbe Quadrat zweimal abläufst, hättest du die Länge Acht. Bei Mondrago ist es ja ein Quadrat, das man erstellt, weswegen es unsinnig wäre, das Quadrat gedanklich mehrmals abzulaufen, somit ist jede der vier Kanten ein Mal abgelaufen worden und die Länge beträgt also Vier.

Wenn Start- und Endecke beim Ablaufen des Kantenzugs dieselbe Ecke ist, was beim Quadrat so ist, handelt es sich um einen so genannten geschlossenen Kantenzug. Wenn alle Kanten verschieden sind, handelt es sich – in Korrelation zum vorangegangenen Satz – um einen Kreis.

Wenn Du gedanklich das Quadrat mehrmals abläufst, wäre das Quadrat mathematisch formuliert eine Wanderung – und damit kein Kreis mehr.

Quelle: Algebra und Diskrete Mathematik von Klaus Denecke

[pdf]Wichtige graphentheoretische Definitionen

 

 

„Furkationen“, also die Gabelungen des Spielverlaufs, sind Teil der →Mondrago-Wechselwirkung und neben der Entfernung zum nächst mögl. Quadrat der 2. entscheidende Faktor im Mondrago – Spielverlauf. Es sind die Furkationen, die den Mondrago – Spielverlauf so schwer berechnen lassen, und, wie wir glauben, ein Unentschieden unmöglich machen. Innerhalb der Furkationen unterscheiden wir Bifurkationen von Trifurkationen.

 Welche Bifurkationen gibt es?

1. Die Wahl zwischen versch. Spielfeldern für einen und denselben Spielstein.

2. Die Wahl zwischen versch. Spielsteinen für dasselbe Spielfeld.

3. Die Wahl zwischen versch. Spielsteinen und versch. Spielfeldern.

4. Die Wahl zwischen versch. Quadraten mit einem Spielstein.

5. Die Wahl zwischen versch. Quadraten mit versch. Spielsteinen.

6. Die Wahl zwischen 2 Ecken desselben Quadrats mit 2 Spielsteinen.

Welche Bifurkationen gibt es noch?

 

Mondrago und der Satz des Pythagoras

Hiermit eröffnen wir ein neues Kapitel im Mondrago-Research: die geometrischen Betrachtungen. Die Geometrie ist das Ästhetische, welches sich hinter Zahlen verbirgt. Der berühmte Satz des Pythagoras lässt  sich wunderbar auf einem MONDRAGO – Spielfeld abbilden. Hier wird anschaulich, was logisch ist:

 1 kleines diagonales Quadrat ist so groß wie 2 kleine gerade Quadrate (Abb.)

1 großes schräges Quadrat ist so groß

wie 10 kleine gerade Quadrate,

oder wie 5 kleine diagonale Quadrate,

oder wie 2 kleine schräge Quadrate,

oder wie ein großes diagonales Quadrat und ein kleines diagonales Quadrat (!)

Wer hätte das gedacht!  Euer Mondrago-Research 

 

Mondrago - WechselwirkungDie „Mondrago – Wechselwirkung“ ist Ausdruck der einzigartigen Ganzheitlichkeit des Spiels Mondrago. Ihre mathematische Formulierung („Mondrago – Formel“) steht noch aus, aber wir verstehen  sie jetzt etwas besser:

Die Mondrago – Wechselwirkung entsteht und entfaltet sich im Spielverlauf über den gegenseitigen Zugzwang, der die „Androhung“  und „Verhinderung“ eines Quadrats bis zur Vollendung des Quadrats verbindet und den Spielverlauf, den wir ja als „Bedrohungsverlauf“ definiert hatten, mit jedem Spielzug in sich selbst zurückkoppelt. Diese Rückkopplung bewirkt, dass sich das Spiel unversehens drehen kann, indem sie  die Entfernung zum nächst mögl. Quadrat (also die „Bedrohung“) für beide Spieler von Spielzug zu Spielzug unterschiedlich verändern kann.

Das liegt daran, dass auch die 4 Spielsteine innerhalb der Spielfläche eine eigene Interaktion haben. Einerseits drehen sie sich um das eigene Quadrat, das sie bilden wollen, („Kleine“ Wechselwirkung), andererseits müssen sie (als Ganzes) auf das möglicherweise sich gleichzeitig bildende, d.h. „drohende“ Quadrat des Gegners reagieren („Große“ Wechselwirkung).

 Diese Interaktion ist aus den Bedingungen (Spielregel) gegeben, weil jeder Spieler nur die Mindestzahl von 4 Spielsteinen für die 4 Ecken eines Quadrats hat, die der gleichen Regel unterliegen (pro Zug ein Feld), jeder Spielstein also zählt und gleich wichtig ist.

( Mehr darüber im komplett erneuerten →Mondrago – Research)

 

Die Androhung eines Quadrats und ihre Verhinderung

(oder der indirekte Zugzwang)

 Wir reden von der „Androhung“ eines Quadrats, wenn einer der beiden Spieler nur noch 1 Zug vom Quadrat entfernt ist, also mit der Vollendung eines Quadrats „droht“. Der daraus erfolgende direkte Zugzwang, der den Gegner zwingt, das fragliche Spielfeld zu besetzen, bestimmt, oberflächlich betrachtet, den Spielverlauf. In Wahrheit kommt die Bedrohung aber aus der Tiefe des Spielverlaufs, d.h. aus den Spielzügen, die der direkten Androhung vorausgehen.  →Research

 Erfahrene Mondrago – Spieler wissen daher, dass es nicht ausreicht, dem Zugzwang folgend, die angedrohten Quadrate zu verhindern. Sie versuchen, mindestens 2 Züge voraus blickend, schon die Androhung eines Quadrats zu verhindern, indem sie das fragliche Spielfeld, von dem die Androhung ausgehen könnte, besetzen. Das nennen wir den „indirekten“ Zugzwang.

 Die Androhung eines Quadrats kannst Du, abhängig von der Spielsituation, auf verschiedene Weisen verhindern: 

Verhinderung der Androhung eines Quadrats

1. Du (Blau) besetzt das fragliche Spielfeld, von dem aus ein Quadrat von Schwarz angedroht werden könnte.

 

 

Blau droht ein Quadrat an und verliert2.  Der Gegner (Blau)  kann sein Quadrat nicht androhen, weil die Verhinderung Dich (Schwarz) auf ein Spielfeld zwingt, von dem aus dann Du ein Quadrat androhen kann, was er nicht mehr verhindern kann.

 

 Und so kannst Du sogar die Androhung eines „nicht mehr zu verhindernden“ Quadrats verhindern:

Verhinderung derAndrohung: Blau zieht und verliert3. Wenn Du (Schwarz) ein Quadrat genau auf dem Spielfeld androhen kannst, auf dem der Stein des Gegners (Blau) steht, mit dem er sein Quadrat androhen kann. Diese Variante funktioniert nur, wenn der Gegner ein Quadrat androhen könnte, was Du nicht mehr verhindern kannst.

 

Frage: gibt es noch andere Möglichkeiten, die Androhung eines Quadrats zu verhindern?

 

Genealogie der ViereckeAuf einem MONDRAGO – Spielfeld gibt es 50 Quadrate. Das Quadrat ist eine Form des allgemeinen Vierecks. Es gibt 7 Formen eines Vierecks: es sind a) die regelmäßigen Vierecke: 1.) Quadrate; 2.) Rechtecke; 3.) Parallelogramme; 4.) Rhomben; 5.) Trapeze; und 6.) die sog. Drachenvierecke. Dann: b.) die unregelmäßigen (allgemeinen) Vierecke. Die Abbildung links zeigt die Genealogie aller Vierecke.

 

Frage: Wieviele Vierecke gibt es insgesamt auf einem Spielfeld von 5*5  Spielfeldern (MONDRAGO)?  Gibt es  mehr regelmäßige oder mehr unregelmäßige Vierecke?

 

MONDRAGO kann man auf verschiedene Weise gewinnen:

1. Der Gegner übersieht das Quadrat, das er hätte verhindern können, und verliert.

2. Der Gegner kann das drohende Quadrat nicht mehr verhindern, weil er einen Zug mehr braucht, um das fragliche Spielfeld zu besetzen.

3. Man kann auch 2 oder mehr versch. Quadrate mit 2 oder mehr versch. Spielsteinen androhen, von denen der Gegner eines oder mehrere nicht verhindern kann! Manche Spielstellungen, wie der „Telemann“ z.B. , lassen je nach Stellung des Gegners die Androhung von bis zu 12 Quadraten zu!

MONDRAGO-Siegstellung: Androhung von 2 versch. Quadraten mit 1 Spielstein4. Dann kann man sogar 2 versch. Quadrate mit dem gleichen Spielstein(!) androhen, von denen der Gegner nur eines oder gar keines verhindern kann. (siehe Abb.)

 

5. Eine begrenzte Anzahl von Stellungen erlauben sogar mit nur einem Spielstein 3 versch. Quadrate  anzudrohen, von denen der Gegner wenigstens eines nicht verhindern kann. Das sind die stärksten Stellungen und werden deshalb hier nicht verraten. Du kannst sie selber finden.

Ansonsten bleibt es dabei: der Gewinner sagt: MONDRAGO! Der Verlierer sagt DANKE!

 

Gibt es ein Mondrago-Patt?

Nein, es gibt kein Mondrago-Patt.

Im Schach entsteht eine Patt-Situation, wenn ein Spieler keinen Zug mehr machen kann, ohne sich dabei selbst in eine Schach-Matt-Situation zu bringen.

Meistens geschieht das, wenn einer der Spieler nur noch einen König hat, der nur noch in eine Schach-Matt-Situation ziehen kann. Das Spiel gilt dann als unentschieden.

Es gibt beim Mondrago-Spiel keine vergleichbare Situation. Das würde ja erfordern, dass eine Situation entsteht, bei der ein Spieler A einen Zug machen kann, der beim anderen Spieler B ein Mondrago-Quadrat entstehen lässt. Das kann aber nicht entstehen, indem A einen Zug macht, sondern nur, indem B selbst einen Zug macht. 

Mit Gruß, Volker Bangert, 11.11.2010

 

In der letzten MONDRAGO Montags-Runde wurde eine alte Frage neu diskutiert: 1. Giebt es ein „MONDRAGO-Patt“? 2. Kann es das geben? Was heißt überhaupt „Patt“ bei MONDRAGO?

Beim Schach bedeutet „Patt“ eine Endposition, bei der ein am Zug befindlicher Spieler keinen gültigen Zug machen kann und sein König nicht im Schach steht. In der Politik redet man von einem „Patt“, wenn ein Gleichgewicht zwischen zwei Parteien herrscht und keine sich durchsetzen kann.

„Bei „MONDRAGO reden wir von einem „Patt“, wenn auf Grund des Zugzwangs keine der beiden Parteien anders ziehen kann, ohne zu verlieren.“

Alles klar? Was heißt das? Wie sähe eine Patt – Situation aus? Kann es sie überhaupt geben? Wie wäre die Stellung der Spielsteine?

 

Sensationell!  Dieter hat tatsächlich die 3. Variante der →Hannifan-Variante gefunden! Blau zieht und gewinnt in 6 Zügen. Eigentlich ist Variante 3 eine Variante von Variante 2.

Sofort downloaden oder selber drauf kommen: 

→Variante 3 der Hannifan-Variante (pdf)

Frage: wer findet den 4. Weg?

 

Ausgangsposition Der Weg ist das Ziel, Freunde!

Blau zieht und gewinnt über den Zugzwang in 8 Zügen.  Wenn ihr das nachspielt, versteht ihr, was es heißt, das Quadrat zu tanzen!

downloaden, ausdrucken, studieren: →Variante 2 der Hannifan-Variante 

 

Ausgangsstellung Kleine Kopfnuss für alle MONDRAGO-Fans: Blau zieht und gewinnt über den direkten Zugzwang mit  4 Zügen! Schwarz hat keine Chance. Schaffst Du es auch? 

Lösung: →Variante 1 der Hannifan-Variante (pdf)

PS 1: Dieser Spielzug ist eigentlich eine Variante der →Hannifan-Variante. Es gibt noch einen 2. Weg. Er ist länger und etwas schwieriger zu finden, aber schöner und führt auch zum Ziel:  Blau zieht und gewinnt nach 8 Zügen! Findest Du ihn auch? 

Variante 2 nach 7.Zug BlauPS 2: Falls Du jetzt die Lösung vermisst, musst Du sie selber finden oder eine Woche warten. Bis dahin ein Tipp: Die Abbildung links zeigt die Stellung nach dem 7. Zug von Blau.

Tanz das Quadrat und finde den Weg! Vielleicht gibt es noch mehr Varianten?

 

An anderer Stelle haben wir schon gesagt, dass die umgekehrt symmetrische Anfangsstellung bei MONDRAGO die Bildung eines Quadrats frühestens nach 6 Zügen erlaubt.  Auch gibt es, lässt man die (umgekehrte) Symmetrie beiseite, 6 mögliche 1. Züge (Eröffnungen). Ein bewährter Standard ist z.B. die →„span. Eröffnung“.

Eroeffnung_A.jpgEroeffnung_B.jpgWir wissen nicht, welche Eröffnung die Beste ist, aber wir kennen die 2 Schlechtesten (Abb.).  Sie sind deshalb schlecht, weil sich mit ihnen der Abstand (6 Züge) zum angestrebten Quadrat nicht verkürzt (auf 5 Züge), sondern gleich bleibt. Man verschenkt also einen Zug.

Wie schlecht diese Eröffnungen sind, erweist sich mit dem 2. Zug, wenn er auf der gegenüber liegenden Seite (also umgekehrt symmetrisch) wiederholt wird: man braucht immer noch 6. Züge bis zum nächsten Quadrat(!), hätte nun also 2 Züge verschenkt. Man erkennt leicht, dass im ersten Fall (Abb. A) eigentlich nur die Anfangsstellung gedreht wird, sich also gar nichts verändert hat. Im zweiten Fall (Abb. B) wird die Anfangsstellung quasi auf die Diagonale des Spielfelds gedreht. Die Spielsteine liegen sich gegenseitig im Weg.

 

Hallo Quadratköpfe, Volker hat es geschafft!  Alle Formeln und ihre systematische Herleitung zur Anzahl mögl. Quadrate auf n*n Spielfeldern (bei MONDRAGO n=5), einschließlich der Differenzen der daraus resultierenden Zahlenfolgen, steht nun für alle mathematisch Interessierten zur Verfügung. Die Zahlenfolgen werden als Tabellen und als Kurven gezeigt!  Big stuff!

Ausdrucken und studieren: Anzahl aller Quadrate auf nxn Feldern. Alle Formeln und ihre Herleitung  (pdf)  © Dr. Bangert 2010

Kurven_ger_schr___dia.jpgMan sieht, die Kurve der schrägen Quadrate schneidet die Kurve der diagonalen Quadrate genau bei n = 5, was der Tatsache entspricht, dass es auf einem MONDRAGO – Spielfeld (5*5) gleich viele diagonale wie schräge Quadrate gibt, nämlich 10.  Danach nehmen die diagonalen Quadrate im Verhältnis zu den schrägen immer mehr ab. 

Die Kurve der schrägen Quadrate hat zwei Schnittpunkte: Zwischen n=10 und n=11 schneidet sie die Kurve der geraden Quadrate. Ab einem Spielfeld von n=11 gibt es also mehr schräge als gerade Quadrate.

Die Anzahl diagonaler Quadrate ist immer kleiner als die Anzahl der geraden Quadrate.

Die Differenzen in den Zahlenfolgen geben Einblicke in das innere Verhältnis der Anzahl der Quadrate, z.B. ergibt die 1. Differenz der Anzahl der geraden Quadrate selber die fortlaufende Folge der Quadratzahlen n*n.  →Research

 

Zum Glück hat das MONDRAGO – Spielfeld nur 5 x 5 Felder, denn auf einem Spielfeld von 101 x 101 Feldern würde die Anzahl der möglichen Quadrate schon die 1 Million überschreiten. 

FormelAnzahl_Quadrate.jpgDie von unserer Grundlagen-Forschung gefundene math. Formel (Klick auf Abb.) erlaubt die Berechnung der Anzahl mögl. Quadrate auf n x n Spielfeldern. Ist die Formel nicht wunderbar? Sie enthält die Summe aller geraden, diagonalen und schrägen Quadrate. Sie stimmt für alle ganzen Zahlen. Es lohnt sich, sie genauer zu betrachten. Wenn ihr mehr wissen wollt:  →Research

PS: Wenn ihr wissen wollt, wie viele mögliche Quadrate  es bei MONDRAGO gibt, könnt ihr die Formel benutzen, indem ihr für n = 5 einsetzt.

 

Mondrago_Formel_gerade_Quadrate_1.jpgMONDRAGO – Spieler wissen schon seit Urzeiten, dass es auf dem Mondrago- Spielfeld n*n, (wobei n=5), genau 50 mögl. Quadrate, (Mondragos) gibt: 30 gerade, 10 diagonale und 10 schräge Mondragos. Aufgepasst! Volker hat nun für die Anzahl der Mondragos auf n*n Spielfeldern das allgemeine Bildungsgesetz gefunden:

mn (gesamt) = Gesamtzahl aller möglichen Mondragos auf einem Spielbrett mit n*n Feldern. 

      mn (gesamt) = mn (gerade) + mn (schräg) + mn (diagonal)

1. Gerade Mondragos:  mn (gerade)  = (n-1)2 + (n-2)2 +(n-3)2 …… + (n-(n-1))2

2. Schräge Mondragos:  mn(schräg) = 2*(n-3)2 + 2*(n-4)2 + 2*(n-5)2 +…2*(n-(n-1))2

3. Diagonale Mondragos: mn(diagonal für ungerades n) = (n-2)2 + (n-4)2 +(n-6)2 …+ (n-(n-1))2

mn (diagonal für gerades n) = (n-2)2 + (n-4)2 +(n-6)2 …… + (n-(n-2))2

4. Alle Mondragos: mn(gesamt für ungerades n) =1*(n-1)2 + 2*(n-2)2 +3*(n-3)2 + 4*(n-4)2 + 3*(n-5)2 +4*(n-6)2 + 3*(n-7)2 +4*(n-8)2 …… + 4*(n-(n-1))2

 mn (gesamt für gerades n) = 1*(n-1)2 + 2*(n-2)2 +3*(n-3)2 + 4*(n-4)2 + 3*(n-5)2 +4*(n-6)2 + 3*(n-7)2 +4*(n-8)2 …… + 3*(n-(n-1))2

n = immer ganze Zahlen

 

Liebe Freunde,  man glaubt gerne, dass MONDRAGO nur ein rein logisches Spiel ist.  Aber der Reiz von MONDRAGO hat tiefere Wurzeln:

Grundbedeutung von Spiel ist „Tanz“, aslaw. plesati, mit Vorwärts-, Rückwärts-, und Seitwärtsschreiten verbunden, das auch zur Umkreisung werden kann.

Kluge, Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache,    21. unveränderte Auflage 1975

Diese Beschreibung passt gut zum Spielverlauf bei MONDRAGO und beweist, wie nahe MONDRAGO an der Wurzel des Spielens liegt.  Denn unter gleich guten Spielern will der Sieg (also das Quadrat)  stets ertanzt werden. Der Tanz beginnt auf dem Gipfel der Konzentration. Ein falscher Schritt…und die selbstherrliche Logik wird von der Intuition besiegt.  

PS: MONDRAGO-Spieler können sogar schrägwärts schreiten! 

 

E = Mondrago × Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat! MONDRAGO ist nicht nur genial einfach, sondern auch einfach genial!  

Der jüngst entdeckte MONDRAGO –  Phasenraum verknüpft die Zugfolge (x-Achse) mit dem jeweiligen Abstand des Spielers zum nächstmöglichen („drohenden“) Quadrat (y-Achse). Er zeigt uns den „Bedrohungsverlauf“ einer Partie MONDRAGO anschaulich als Diagramm. (→RESEARCH)

Phasenraum_001a_1.jpg

 

 

 

Das Phasenraum-Diagramm kann uns vielleicht zu neuen Einsichten in den bis jetzt nur ansatzweise verstandenen Spielverlauf einer Partie MONDRAGO verhelfen. Auf der Abbildung (Klick zum Vergrößern) seht ihr das Diagramm der längsten, bisher aufgezeichneten MONDRAGO -Partie →Adrian vs. Zven(pdf)  Man sieht sofort, dass hier Großmeister am Werk waren!

Gruß von der Mondrago-theorethischen Forschungsstelle Prof. A. Vierstein

 

 ModerArtMondrago2.jpgMan kann die 2 x 4 Spielsteine von MONDRAGO als 2 x 4 Pendel betrachten, die durch den Zugzwang miteinander verkoppelt sind.  Die mathematische Figur, die diese Rückkopplung erzeugt, ist der Torus, ein ringförmiges Gebilde, auf dessen Oberfläche der Verlauf zweier kombinierter, dynamischer Systeme dargestellt werden kann.

 

Mathematiker aller Länder! Vereinigt euch! Die „MONDRAGO-Formel“ ist noch nicht gefunden.

 

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